Die Geschichte der Mathematik

Veränderungen im Mathematikunterricht, Rechenunterricht, Rechenmethodik, neue Mathematik, Dyskalkulie, Rechenschwäche

Der Begriff Mathematik stammt ab vom griechischen Wort “mathema” und steht für Wissenschaft. Wissenschaft ist heutzutage allerdings umfassender und so steht das Wort Mathematik für die Wissenschaft des Zählens, Messens und Rechnens sowie der Geometrie.

Der Mathematikunterricht hat demzufolge die Aufgabe, das Zählen, Messen, Rechnen und die geometrischen Grundlagen so zu vermitteln, dass ein Verständnis der Inhalte erreicht wird. Mathematikunterricht hat immer auch mit Forderung und Förderung der Leistungen zu tun. Insbesondere beim Vorliegen von Rechenschwäche oder gar einer Dyskalkulie werden besondere Vorgehensweisen und Förderungen notwendig.

Historisch betrachtet ist das, was heute im Mathematikunterricht gelehrt wird, über Jahrhunderte weiter entwickelt und definiert worden. Die Ursprünge allen Rechnens findet man bereits im 3. Jahrhundert VOR Christus, sowohl bei den alten Ägyptern als auch bei den Babyloniern. Rechnen war in den Anfängen ein striktes Verfolgen von Regeln ohne ein konkretes Warum zu hinterfragen.
Das Hinterfragen und Beweisen waren Bestandteile, die eigentlich erst in den Zeiten der Griechen wichtig wurden. In dieser Zeit wurden auch erste Versuche verwirklicht, ein Rechnen zu vereinfachen. Die Rechenmaschine “ABAKUS” wurde entwickelt.

Bis das Rechnen allgemein zugängig wurde, zog viel Zeit ins Land und während zunächst nur Auserwählte das Lesen, Schreiben und Rechnen erlernen durften, formierten sich mit Johann Amos Comenius und seiner Forderung nach einer insgesamten Bildung der Jugend beiderlei Geschlechts im 17. Jahrhundert allmählich erste Anzeichen einer Bildung für alle. “Omnes, omnia, omnino: Allen, alles, allumfassend” waren seine Schlagworte.
Durch die geschichtlichen Beeinflussungen war die Umsetzung seiner Forderungen zunächst allerdings nicht so möglich. Hier wird allerdings deutlich, welche Konsequenzen eine solche Forderung mit sich bringt. Bildung für alle zu fordern bedeutete nämlich auch, eine Bildung für alle zu ermöglichen. Damit verbunden war auch eine Veränderung im Hinblick auf die Vermittlung von (mathematischem) Wissen, der so genannten Didaktik. Frei nach der Devise: “Was bringt mir das Wissen meines Lehrers, wenn er es nicht vermitteln kann?”, dauerte es noch lange bis man bemerkte, dass man eine Einsicht und ein Verständnis der Gegebenheiten nur dann erreichen kann, wenn man auf verschiedenen emotionalen Ebenen die Gegebenheiten didaktisch sinnvoll behandelt.
Neben der Wissensvermittlung wurden bereits durch Kern und Cuisenaire Rechenstäbe zur Veranschaulichung von Zahlen und deren Rechenverfahren erfunden. Jacob Heer erfand zur Veranschaulichung in den 30’er Jahren des 19. Jahrhunderts zusätzlich die Hundertertafel zur Veranschaulichung der Zahlenräume und deren Operationen, andere Anschauungsmittel folgten.
Insbesondere Johann Heinrich Pestalozzi (1746 - 1827) entwickelte den modernen Rechenunterricht weiter. Für Pestalozzi war der Mathematikunterricht mehr als nur die simple Anwendung diverser Rechenverfahren. Durch den Mathematikunterricht sollte die Denkfähigkeit gefördert und gefordert werden. Sechs wesentliche Elemente bestimmten den Rechenunterricht Pestalozzis und seine Idee von einem guten Rechenunterricht. Diese waren:

• Der Mathematikunterricht ist Mittelpunkt, also wichtigster Bestandteil des gesamten Unterrichts.
• konkrete Anschauungsmaterialien aus dem Alltag (z.B. Erbsen, Steine, Murmeln, ...) zur Verdeutlichung des Zahlbegriffs und der Operationen (wegnehmen = Subtraktion; hinzufügen = Addition, verteilen = Division, gleichwertiges Bündeln (z.b. 3 Sechserpäckchen = 3 mal 6)
• Durchdenken statt simples Anwenden nicht verstandener Regeln.
• Kopfrechnen zur Automatisierung und Förderung der Denkfähigkeit.
• Klassenunterricht
• Vermittlung mathematischer Inhalte nach der Devise: vom Leichten zum Schweren.

Im 20. Jahrhundert entwickelte sich das, was man in der Pädagogik als Reformpädagogik bezeichnet. Die geplanten Veränderungen wurden mit den Schlagworten “Das Jahrhundert des Kindes”, bzw. “Pädagogik vom Kinde aus” vorangetrieben. Insbesondere Maria Montessori und Ellen Kay sind in dieser Hinsicht namentlich zu erwähnen. Besondere Berücksichtigung fanden hier insbesonder auch die schwächeren Kinder.
Ähnlich wie bei der Entwicklung verschiedener Leseverfahren <link html legasthenie.html>siehe Lese- Rechtschreibschwäche gab es auch hier zwei wesentliche Verfahren der Umsetzung des Rechnens, die umfassend erst nach dem 2. Weltkrieg, also besonders in den 50er bis Mitte der 60er Jahre im Unterricht umgesetzt wurden. Diese waren:

1. Das synthetische Verfahren
2. Das ganzheitliche Verfahren

Das synthetische Verfahren Johannes Kühnels geht davon aus, das entsprechend dem Alter des Kindes verschiedene mathematische Verständnisse möglich werden und dass diese Abfolge aufeinander aufbaut. Dabei empfand er die Anschauung als ein besonders wesentliches Moment der mathematischen Wissensvermittlung und der Förderung von Rechenschwächen. Das Auswendiglernen alleine implizierte nicht unbedingt ein Verständnis des zu erlernenden Wissens. Ein wesentliches Anschauungsmittel war das Hunderterblatt, welches bereits dem Hunderterblatt unserer Kinder aus dem zweiten Schuljahr ähnelte.

Das ganzheitliche Verfahren Johannes Wittmanns hingegen “verbannt” zunächst die Zahlwörter (1, 2, ... ) aus dem Unterricht und sieht den Umgang mit den Mengen und die Herausbildung des Mengenbegriffes als ein wesentliches Moment und eine grundlegende Voraussetzung für die Fähigkeit, den Zahlbegriff zu entwickeln. Zum Umgang mit Mengen zählte hier das Ordnen (aufreihen), Gruppieren (nach Farben, nach Gegenständen, ...) und Strukturieren (z.B. das Festlegen von Reihenfolgen aus ungeordneten Mengen).
Anders als bei Kühnel, der dem Alter des Kindes das Verständnis einzelner mathematischer Inhalte vorschrieb, geht Wittmann mehr von dem Verständnis aus. So kann im ganzheitlichen Verfahren Wittmanns ein Kind das Zählen erst dann durchführen, wenn der Mengenbegriff gefestigt ist. Das mathematische Lernen funktioniert hier schrittweise, insgesamt stehen 23 Stufen des Rechenunterrichtes zur Verfügung.

Während man in den Schulen mit der Umsetzung dieser Verfahren beschäfitigt war, entwickelten sich Bereits pädagogische und didaktische Neuerungen, die insbesondere durch die Forschungsergebnisse des schweizer Psychologen Jean Piagets (1896 - 1980) geprägt wurden.

Jean Piagets (1896 - 1980) befasste sich am Genfer Jean Jacques Rousseau - Institut mit Fragestellungen aus dem Bereich der Kinder- und Jugendpsychologie sowie dem Bereich der Erziehung. Zahlreiche Veröffentlichungen (siehe rechte Bannerleiste) folgten. Bezogen auf den Mathematikunterricht lassen sich Piagets Ergebnisse folgendermaßen zusammenfassen:

• Die Entwicklung logische Denken durchläuft verschiedene Phasen, so genannte Stadien.
• Die Phasen bauen aufeinander auf und können manchmal in Wechselwirkung miteinander stehen, da nicht von heute auf morgen eine Stufe beendet und die nächste begonnen wird.
• Das aufeinander Aufbauen impliziert, dass die Ziele der jeweils stattfindenden Phase erst erreicht werden müssen, bevor eine neue Phase begonnen werden kann.
• Die Altersangaben können individuell variieren, dabei ist eine zeitliche Verschiebung von ca. 4. Jahren denkbar. Dies liegt darin begründet, dass eine logische Struktur nicht von allen Kindern gleichen Alters (adäquat) gelöst werden kann.
• Auf jeder Stufe machen sich die beiden sich gegenseitig bedingenden funktionalen Prozesse der kognitiven Umweltanpassung: Assimilation (= Aufnahme neuer Inhalte) und Akkomodation (= Anpassung des Verhaltens durch Übung, Verinnerlichung und geistiger Durchdringung) bemerkbar.

Die kognitiven Entwicklungsstufen nach Jean Piaget (1896 - 1980)

• Das sensomotorische Stadium
  von 0 bis 24 Monaten
  
  Direkt nach der Geburt beherrscht das Kind lediglich die einfachen Reflexe, aus denen sich dann willkürlich gesteuerte Aktionen entwickeln.
  Allmählich beginnt das Kind damit, die Reflexe mit anderen zu kombinieren. Erst im Alter von etwa einem halben Jahr reagiert das Kind bewusst auf Reize von außen.
  Im Alter von etwa acht bis 12 Monaten beginnt das Kind damit, sich zielgerichtet zu verhalten. Es kann beispielsweise Gegenstände wegschieben um nach einen anderen Gegenstand, den es haben möchte, zu greifen. In diesem Alter beginnen Kinder auch zwischen Personen zu unterscheiden. Fremde werden misstrauisch begutachtet und abgewiesen (“Fremdeln”).
  Im weiteren Verlauf beginnt das Kind damit sich weiterzuentwickeln und sich immer mehr auf die Gesellschaft einzulassen.
• Das präoperationale Stadium
  von 2 bis 7 Jahren
  
  Die Ausbildung geistiger Aktivitäten rückt immer weiter in den Vordergrund. Das Kind kann sich allerdings nicht in andere Personen hineinversetzen sondern sieht sich selbst als Zentrum und Mittelpunkt allen Interesses. Man spricht vom egozentrischen (Ich - bezogenen) Denken, welches nicht auf Logik beruht. Wenn..., dann... - Folgen gedanklich zu durchdringen ist in der Regel nicht möglich.
• Das Stadium der konkreten Operationen
  von 7 bis 11 Jahren
  
  In diesem Stadium entwickelt das Kind die Fähigkeit, mit konkreter Anschauung erste logische Verknüpfungen zu durchdringen. Im Gegensatz zum Egozentrismus entwickelt sich die Dezentrierung. Dies bedeutet, dass das Kind nicht mehr nur sich selbst als Mittelpunkt sieht, sondern auch dazu in der Lage ist, Irrtümer oder falsches Verhalten einzusehen und zu korrigieren.
  Bezogen auf den Mathematikunterricht ist die Fähigkeit, Operationen in Gedanken mit konkreten Objekten durchführen zu können, sehr wichtig. Dazu gehört aber auch die Fähigkeit, in Gedanken nochmal alles rückwärts zu betrachten (Reversibilität). Mathematisch betrachtet heißt das zum Beispiel: Das Kind kann eine Operation (z.B. Addition) durchführen und mittels Gegenoperation (Umkehraufgabe, Subtraktion) rückwärts nachvollziehen.
  In seinen Untersuchungen zur Aufstellung der Begleiterscheinungen der einzelnen Operationen führte Piaget Versuche durch, die seine Theorien bestätigen sollten. Ein wichtiger Versuch - bezogen auf dieses Stadium - war das Umfüllen von gleichen Mengen Flüssigkeiten in verschieden große Gefäße. Wenn eine Flüssigkeit, sagen wir: 200 ml in ein breites Glas gefüllt wird, ist der Füllrand tiefer als in einem schmalen, hohen Glas. Während einem Erwachsenen klar ist, dass die Wassermenge trotz allem gleich bleibt, entscheidet ein Kind im präoperationalen Stadium dafür, dass im hohen Glas mehr Wasser enthalten ist. Am Ende des Stadiums der konkreten Operationen sollte die Einsicht vorhanden sein, dass in beiden Gläsern gleich viel Wasser enthalten ist.
• Das Stadium der formalen Operationen
  von 11 bis 16 Jahren
  
  In diesem Stadium wird abstraktes Denken ermöglicht. Darüber hinaus können Kinder in diesem Stadium immer besser über Gedanken nachdenken und aus einer Fülle von Informationen Schlussfolgerungen ziehen.

Jedes Stadium umfasst einen Entwicklungsabschnitt und spiegelt demzufolge einen Zeitabschnitt wieder. Diese Zeitabschnitte können um bis zu vier Jahre variieren, sind also nicht starr. Ein Stadium spiegelt jeweils erreichte geistige Grundlagen wieder und ist wiederum Ausgangsbasis für den nächsten Entwicklungsabschnitt.

Im Hinblick auf die Weiterentwicklung und Ausgestaltung eines kindzentrierten Mathematikunterrichtes und einer kindgerechten Förderung von Lernproblemen, hatten Piagets Ergebnisse einige Auswirkungen. Sie wurden in die Lehren Wittmanns integriert und so entwickelte sich aus dem ganzheitlichen Ansatz die so genannte “operativ - ganzheitliche Methode”. Darüber hinaus gab es auch Didaktiker, die versuchten, Piagets Erkenntnisse umzusetzen ohne sie in anderes Gedankengut zu integrieren. Daraus entwickelte sich die “operative Methode”.

Die Jahre nach dem 2. Weltkrieg waren geprägt durch den Kalten Krieg und das Wettrüsten zwischen der damaligen UDSSR und den USA. So empfanden die westlich orientierten Länder die Tatsache, dass die UDSSR vor den USA dazu in der Lage waren, einen Satelliten ins All zu bringen, als einen Schock, den so genannten Sputnik - Schock. Als Folge daraus entschied die OECD sich für eine Modernisierung des Mathematikunterrichtes, die dann 1968 durch die Kultusministerkonferenz an die Schulen weitergetragen wurde: Die Mengenlehre erhielt Einzug in den Mathematikunterricht. Dies war allerdings nicht alles. Zur Modernisierung gehörte:

• Die Einführung der Mengenlehre
• Verstärktes Integrieren der Geometrie
• Einsicht in mathematische Sachverhalte soll vor dem simplen Anwenden von Regeln stehen
• Knobel- und Denksportaufgaben zur stärkeren Betonung der so genannten “kreativen” Mathematik.
• Das Rechnen in verschiedenen Stellenwertsystemen (Dualsystem)
• Gleichungen und Ungleichungen im weiterführenden Mathematikunterricht
• Wahrscheinlichkeitsrechnung, Logik
• Lösung von Sachverhalten mittels Rechenbäumen und Pfeildiagrammen
• ...

Auch diese Neuerungen konnten sich nicht anhaltend durchsetzen. So wurde die “Mathematik der Mengenlehre” wie sie umgangsprachlich benannt wurde, immer wieder kritisiert. Hauptkritikpunkt war die Ansicht, dass das Anwenden von Rechentechniken und das Üben zu kurz kamen, dafür aber Dinge antrainiert wurden, die teilweise kaum einen Alltagsbezug aufwiesen. Die “neue Mathematik” galt als zu abstrakt. Eine Tatsache, die rechenschwachen Kindern ganz und gar nicht entgegenkam.

Heutzutage findet man verschiedene Ansätze aus den einzelnen Entwicklungen im Mathematikunterricht verwirklicht. So sind beispielsweise Piagets grundlgegende Erkenntnisse im der Mathematikdidkaktik auch heute noch von großer Bedeutung. Wichtig ist - neben allen inhaltlich zu vermittelnden Fakten, zu denen der Lehr- oder Rahmenplan der Schulen verpflichtet - die Einhaltung der Abfolge neu zu erlernender mathematischer Inhalte. Grundschulkinder beispielsweise befinden sich auf der Stufe der konkreten Operationen, teilweise vielleicht auch noch auf der Stufe der präoperationalen Stufe. Dabei ist die Anschauung zum Verständnis von großer Bedeutung. So sollten neu zu erlernende Inhalte immer gemäß dem E-I-S - Prinzip durchdrungen werden, um jedem Kind die Verständnismögichkeit zu bieten.

Das E - I - S - Prinzip steht für enaktives Durchdringen (handelndes Tun mit Anschauungsmaterialien), ikonische (= bildliche Darstellung) und symbolische Durchdringung.
Dies soll - bezogen auf die Addition - hier nun verdeutlicht werden. Das Verständnis der Addition erreicht man enaktiv durch die Verwendung von Legeplättchen, Muggelsteinen oder ähnlichem. Das Kind versteht, dass man etwas hinzufügen muss. Zu der Ausgangsmenge 3 (Legeplättchen, Autos, Muggelsteine, ...) werden 5 weitere Gegenstände der gleichen Menge hinzugefügt. Es kann erkennen, dass nun 8 (Legeplättchen, Autos, Muggelsteine, ...) vorhanden sind und diese auch durch Abzählen bestätigen.
Die ikonische Durchdringung währe nun die Übertragung auf die bildliche Ebene. So malt es die Aufgabe nun mit Kreisen in das Heft:

0 0 0 + 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0 = Legeplättchen, ...)

Auch Bilder der verwendeten enaktiven Durchdringung (Bilder von Autos, etc.) können verwendet werden. Eine Übertragung findet statt, wenn die Zahlen hinzukommen: 3 + 5 = 8
Der systematische Aufbau und das schrittweise Reduzieren der Anschauung, kommt dabei in besonderem Maße den Kindern entgegen, die Probleme beim Erfassen neuer Inhalte aufweisen. Darüber hinaus ist eine Anschauung generell für alle Kinder zur Verinnerlichung mathematischer Inhalte von wesentlicher Bedeutung.

Dabei kann es Kinder (mit einer Rechenschwäche oder gar Legasthenie) geben, die sofort den Übergang von der enaktiven auf die symbolische Ebene schaffen. Denkbar ist auch, dass Kinder bereits von Anfang an dazu in der Lage sind formaloperational zu denken. Dies liegt unter anderem darin begründet, dass die Entwicklungsstufen keineswegs starr sind, sondern dass Verschiebungen von bis zu vier Jahren auftreten können. Es ist Aufgabe des Lehrers herauszufinden auf welcher Stufe sich einzelne Kinder befinden und demzufolge den Unterricht darauf auszurichten.